Fizikai Szemle honlap

Tartalomjegyzék

Fizikai Szemle 2008/5. 167.o.

LANDAU, AZ ISKOLATEREMTŐ

Sólyom Jenő
MTA Szilárdtestfizikai és Optikai Kutatóintézet

A száz éve született Lev Davidovics Landau a leningrádi egyetem fizikus hallgatója volt, amikor 1926-ban első cikke [1] megjelent a Zeitschrift für Physikben A kétatomos molekulák spektrumának elméletéhez címmel. Ebben az "új kvantummechanikának” megfelelően határozta meg - perturbációszámítást alkalmazva - a molekula gerjesztési spektrumát, az átmenetek intenzitását, elektromos és mágneses tér jelenlétében is. Igaz, hogy 18 éves kora ellenére már egyetemi tanulmányai vége felé járt, de alig vagyunk egy évvel Heisenbergnek a modern kvantummechanikát megalapozó cikke után. Egy évvel később megjelent munkájában [2] pedig eredeti módon, az azóta sűrűségmátrixként ismert mennyiség bevezetésével vizsgálta a csillapodás problémáját a hullámmechanikában. Életének utolsó, Az alapvető kérdésekről című munkája pedig 1960-ban jelent meg a Wolfgang Pauli születésének hatvanadik évfordulója alkalmából kiadott kötetben.

A közben eltelt három és fél évtizedben a fizika sok területén alkotott maradandót. Ha egy mostanában megjelenő szilárdtest-fizikai, magfizikai, térelméleti vagy más tankönyv tárgymutatóját fellapozzuk, többek között a következő indexelemekkel találkozhatunk: Landau-csillapodás, Landau-diamágnesség, Landau-ghost, Landau- mérték, Landau-pólus, Landau-szintek, Ginzburg- Landau-egyenletek, Ginzburg-Landau-modell, Ginzburg- Landau-funkcionál, Landau-Lifsic-egyenletek, Bothe- Landau-formula, Landau-Placzek-formula, Landau- Zener-formula, a másodrendű fázisátalakulások Landau-elmélete, a Fermi-folyadékok Landau-elmélete, a turbulencia Landau-Hopf-elmélete.

fotó

Az 1962 januárjában bekövetkezett tragikus baleset tehát egy termékeny, a fizika fejlődését rendkívüli módon előrevivő életet tört ketté. Pedig munkásságát nemcsak a baleset zavarta meg. Lehet, hogy csak óvatosságának köszönhette, hogy nem lett a sztálini tisztogatás áldozata. 1937-ben akkor hagyta ott Harkovot - szinte egyik napról a másikra és kért menedéket régi pártfogójától, Pjotr Kapicától -, amikor kollégáját és barátját, a kísérleti fizikus Lev Subnyikovot, akivel egy időben volt a harmincas évek elején hosszabb tanulmányúton Nyugat-Európában, kémkedés vádjával letartóztatták. Amikor a következő évben ő is börtönbe került, valószínűleg maga sem tudta, ez csak évtizedek múlva került nyilvánosságra, hogy Subnyikovot letartóztatása után néhány hónappal kivégezték.

A Landau munkáinak gyűjteményét [3] kezébe vevő olvasónak legfeljebb az tűnhetett fel, hogy míg 1934- ben és 1935-ben is négy cikke jelent meg, emellett 1935-ben két könyve, 1936-ban hat, 1937-ben pedig tíz cikke, s ekkor készült el az Elméleti fizika sorozat első tagja, a Statisztikus fizika, addig 1938-ban csak kettő, 1939-ben pedig mindössze egy cikke. A hivatalos, a halála idején írt életrajz mégcsak nem is utalhatott arra, hogy mi lehetett ennek az oka. Ahogy arra is csak igen áttételesen, hogy miért foglalkozott az 1950- es évek elején Landau parciális differenciálegyenletek numerikus megoldásával. Ha az olvasó nem találta volna ki, a szovjet atom- és hidrogénbomba-programhoz kellettek ezek a számítások.

A Landau-iskola és az elméleti minimum

A kvantummechanika születése utáni időben tevékenykedő fizikusok között nem ő volt az egyetlen, akinek munkássága a fizikán belül több, ma igen különbözőnek tekintett területre terjedt ki. Elég, ha csak Hans Bethére vagy Werner Heisenbergre gondolunk. Valószínűleg a legtöbben nem úgy tekintünk rájuk, mint a szilárdtestfizika jellegzetes képviselőire, pedig a Heisenberg-modell említése nélkül nem lehet a mágnességről tanulni. A Heisenberg-modell egydimenziós változatának megoldására javasolt Bethe-feltevés nem ennyire közismert, de minden egyetemi oktató örülhetne, ha hallgatói annyit tudnának a fémek elektronelméletéről, amennyit az 1930-as évek elején a Handbuch der Physik számára készült összefoglalóban [4] Arnold Sommerfeld és Bethe leírt.

Mégis azt mondhatjuk, hogy Landau munkássága ezekénél lényegesen szélesebb ölelésű volt. Őt élete végéig az jellemezte, hogy az elméleti fizikát egységes tudományterületnek tekintette. Nemcsak pályája elején foglalkozott egyszerre a fázisátalakulások elméletével, a fémek nagyon alacsony hőmérsékleti viselkedésével, a szupravezetéssel, a csillagok energiájának eredetével, a magok statisztikus elméletével, a neon és szén alfa-bomlással szembeni stabilitásával, vagy a nehéz részecskék által keltett záporok kialakulásával (ezek mind 1937-ben jelentek meg), hanem az 1950- es évek közepén is több témában volt érdekelt. Ekkor dolgozta ki a Fermi-folyadékok elméletét, miközben cikkek sorát írta a kvantumtérelmélet problémáiról.

Landau 1938-ban, a hírhedt Ljubjanka börtönben

Talán még ennél is jellegzetesebb vonás az a tudatos iskolateremtés, amely Landaut a harkovi időktől kezdve jellemezte. Ha a Landau nevéhez köthető fogalmakat keressük, a fent felsoroltak mellett, vagy még azok előtt, a Landau-iskola és "A Landau-Lifsic”, vagyis a Landau és Jevgenyij Lifsic által írt elméleti fizika tankönyvsorozat juthat eszünkbe. Landau szerint az elméleti fizikát csak akkor lehet eredményesen művelni, ha a jelölt széles alapokkal rendelkezik. Nemcsak maga volt univerzális, hanem munkatársaitól is ezt várta. Ezért mindenkit, aki mellette szeretett volna tudományos munkát végezni, levizsgáztatott az "elméleti minimum”-ból. Mint ismert, mindössze 43-an állták meg a próbát. Közülük a legismertebbek Jevgenyij Lifsic mellett még Harkovból Alekszandr Ahiezer, Iszaak Pomerancsuk és Tisza László, a moszkvai időből pedig talán Alekszej Abrikoszov (maga is Nobel-díjas), Lev Gorkov, Igor Dzjalosinszkij, Iszaak Halatnyikov és Lev Pitajevszkij.

A Landau-Lifsic-sorozatból képet kaphatunk arról, hogy mit jelentett ez a minimum. A mechanikától az elektromágneses tér klasszikus elméletén, a szilárd testek elektrodinamikáján és a kvantummechanikán keresztül a statisztikus fizikáig terjedt a megkövetelt ismeretek köre. Életében hét kötet jelent meg a tervezett sorozatból. Halála után Lev Pitajevszkij segített a teljessé tételben. A könyveket angolra, franciára, németre, sőt magyarra is lefordították, valószínűleg más nyelvekre is, így Landau közvetlen tanítványain túl fizikusok nemzedékei nőttek fel azokon.

Az iskolateremtés része volt a Landau-szeminárium is, ahol csoportjának tagjai számoltak be munkájukról, illetve ismertettek cikkeket. Amíg aktív volt, Landau az első sorban ült mindig ugrásra készen, ha valamivel nem értett egyet.

Ebben a cikkben három példán keresztül szeretném bemutatni a rá és a Landau-iskolára jellemző gondolkodásmódot.

A Landau-diamágnesség

Az első példa a Landau-diamágnesség és a De Haas- Van Alphen-jelenség Landau-féle tárgyalása. A klaszszikus mechanikából tudjuk, hogy ha egy q töltésű részecske A vektorpotenciállal megadott B mágneses térben mozog, kinetikus energiáját az mv = p - qA kinetikus impulzus segítségével lehet

képlet

alakban megadni. A kvantummechanikai tárgyalásban operátorokat használva és a p kanonikus impulzusra megkövetelve a kanonikus felcserélési relációt a

képlet

Hamilton-operátor sajátérték-problémáját kell megoldani. Az

képlet

szimmetrikus mértéket használva a q = -e töltésű elektronokra,

képlet

Ezt a problémát, valójában egy ennél bonyolultabbat, mert a részecske nem szabadon, hanem harmonikus (parabolikus) potenciáltérben mozgott, Vlagyimir Fock már 1928-ban megoldotta [5]. Azt a ma már egyáltalán nem meglepő eredményt kapta, hogy a mágneses térre merőleges síkban klasszikusan ωc = eB/m körfrekvenciával mozgó részecske energiája ħωc egységekben van kvantálva. Az energia-sajátértékek:

képlet

Fock a sajátfüggvényeket is megadta az általánosított Laguerre-polinomok segítségével. A megoldásból azonban egyáltalán nem látszott, hogy mekkora az egyes energiaszintek elfajultsága. Landau 1930-ban megjelent munkájának [6] első érdekes eredménye e kérdés megválaszolása volt. Rámutatott arra, hogy ha a Ψ sajátfüggvényeket

képlet

alakban választjuk, χ is a szabad elektronok kinetikus energiáját tartalmazó fenti Hamilton-operátor sajátfüggvénye ugyanazzal az energiával, de az azóta Landaumértéknek nevezett A = (0,Bx,0) mértékben, vagyis

képlet

Ebben az alakban a feladat olyan oszcillátorokra vezethető vissza, amelyek középpontja az x tengely mentén jól meghatározott, x0 = -py/eB helyeken lehet. A py impulzus lehetséges kvantált értékeiből kapta meg az energiaszintek Nρ = eΦ/ħ degenerációját, ahol Φ a minta felületén áthaladó mágneses fluxus.

Az energiaspektrum ismeretében viszonylag egyszerűen jutott el a nagykanonikus potenciál

képlet

alakjához, ahol

képlet

Az n szerinti összegzés elvégzésére a

képlet

Euler-Maclaurin-féle összegképletet használta, majd a nagykanonikus potenciálból a mágnesezettséget és a szuszceptibilitást is meghatározta. Így jutott a T → 0 határesetben az elektronok pályamozgásából adódó jól ismert

képlet

Landau-féle diamágneses szuszceptibilitáshoz, ahol ρ(εF) az elektronok állapotsűrűsége a Fermi-energiánál. Az előjelkülönbségtől eltekintve ez pontosan egyharmada a spinektől származó Pauli-féle paramágneses szuszceptibilitásnak.

Önmagában ez az eredmény is nagyszerű teljesítmény lett volna. Landau igazi fizikusi hozzáállása, érettsége azonban az ehhez az eredményhez fűzött megjegyzésekben nyilatkozott meg igazán. Először is rámutatott arra, hogy ha nem szabad elektronokra végezte volna el a számolást, hanem a kristályrács periodikus potenciálterében, akkor - mivel a spineket és a Pauli-féle szuszceptibilitást a periodikus potenciál nem befolyásolja, a Bloch-elektronok dinamikája viszont nem azonos a szabad elektronokéval - az egyharmados arány felborulhat a diamágneses és paramágneses járulék között, és a bizmuthoz hasonlóan az eredő viselkedés diamágneses lehet.

Másrészt, felhívta a figyelmet arra, hogy a Bohr-féle kvantálásnak megfelelő kvantált energiaszintek akkor alakulhatnak ki, ha az elektronoknak van idejük legalább néhányszor körbefutni a periodikus pályán. Ha a minta szennyezett, s emiatt a közepes szabadúthossz összemérhető a ciklotronpálya sugarával vagy kisebb annál, a diamágneses szuszceptibilitás lényegesen megváltozhat. Ugyanezt kell tapasztalni akkor is, ha a minta mérete válik összemérhetővé a ciklotronsugárral. Az ebből adódó méreteffektusokat jóval később, az 1960-as években éppen a Szovjetunióban vizsgálták igen kiterjedten.

Mindezeknél izgalmasabb Landau harmadik megjegyzése. Rámutatott arra, hogy az Euler-Maclaurin-féle összegzési formula csak viszonylag lassan változó függvényekre alkalmazható. Az adott esetben ez azt jelenti, hogy teljesülnie kell a µBB << kT feltételnek, ez viszont sérülhet nagyon alacsony hőmérsékleteken vagy erős mágneses terekben. Mint írta: "Az utóbbi esetben a mágneses momentum a mágneses térnek bonyolult nemlineáris függvénye lehet, sőt a térerősség függvényében erős periodicitást mutatna.” Ezzel lényegében megjósolta a De Haas-Van Alphen-jelenséget. Hozzátartozik azonban az igazsághoz, hogy a jelenséget az akkori kísérleti lehetőségek mellett megfigyelhetetlennek vélte. Becslést végzett arra, hogy az akkor elérhető legerősebb, 30 tesla nagyságú mágneses térnek mennyire kell homogénnak lennie, hogy a jelenség ne mosódjon el, s azt találta, hogy a térerősség 0,1%-os inhomogenitása már kiátlagolja az oszcillációkat. A sors fintora, hogy még ugyanabban az évben, a már említett, akkor Leidenben dolgozó Subnyikovnak De Haasszal együtt [7] sikerült megfigyelnie az energiaszintek kvantáltsága miatt az ellenállásban megjelenő oszcillációt, majd De Haas és Van Alphen [8] a mágnesezettség oszcillációit is meg tudta mérni. Egyébként a De Haas-Van Alphen-jelenség pontosabb elméleti leírását, az oszcilláló tag helyes hőmérsékletfüggését is Landau adta meg később, 1939-ben [9], gömbszerű Fermi-felülettel rendelkező fémekre, az Euler-Maclaurin-összegzés helyett a Poisson- összegzést alkalmazva.

A másodrendű fázisátalakulások Landau-elmélete

A második példa a másodrendű (folytonos) fázisátalakulások Landau-elmélete és annak alkalmazása szupravezetőkre, ami a Ginzburg-Landau-elmélethez vezetett. Itt két olyan motívumra figyelhetünk fel, amely jellemző volt Landaura. Az egyik a szimmetriák szerepének hangsúlyozása a fizikai elméletekben. Amikor Landau az 1930-as években a folytonos fázisátalakulásokkal kezdett foglalkozni, még egyáltalán nem volt tisztázva, hogy mikor lehet vagy nem lehet folytonos egy fázisátalakulás abban az értelemben, ahogy folyadékból folytonosan át lehet menni a gázfázisba. Landau mutatott rá arra [10], hogy ilyen értelemben nem lehet folytonos az átalakulás a kristályos állapotból a folyadékba vagy a kristály egy más szimmetriájú állapotába. Ezek az átalakulások ugyanis mindig szimmetriaváltozással, szimmetriaelemek eltűnésével vagy új szimmetriaelemek megjelenésével járnak együtt, márpedig "egy szimmetriaelem vagy jelen van, vagy hiányzik, de semmiféle közbenső állapot nem lehetséges. Ezért abszolút lehetetlen olyan folytonos fázisátalakulás (a folyadék és gáz folytonos átalakulásának értelmében), amely szimmetriaváltozással járna.” Ezt az állítást Phil Anderson annyira fontosnak érezte, hogy a szilárdtestfizika első főtételének nevezte [11] a következő megfogalmazásban: "a szimmetriát nem lehet folytonosan változtatni”.

fotó

A másodrendű fázisátalakulásoknál Landau szerint sérül a magas hőmérsékleti fázis szimmetriája. A sérült szimmetriájú fázist egy, a rendre jellemző új mennyiség, a rendparaméter véges értéke írja le. Mivel az átalakulási pontban a rendparaméter nulla értéket vesz fel és onnan folytonosan növekszik, értéke az átalakulási pont közelében még kicsi. Ezért, ha a szabadenergiát ennek hatványai szerint sorba fejtjük, elegendő az első néhány tagot megtartani. Egy kis paraméter keresése volt az a másik jellegzetes vonás, amire utaltam.

A másodrendű fázisátalakulások Landau-elmélete [10] ezt a kettőt, a szimmetriamegfontolásokat és a kis paraméter létezésének következményeit ötvözte. Ha a δρ rendparamétert a magas szimmetriájú fázis szimmetriacsoportja irreducibilis ábrázolásainak bázisfüggvényei szerint kifejtjük, a

képlet

alakra jutunk, ahol n indexeli az irreducibilis ábrázolásokat, dn pedig annak dimenziója. Ebben a felírásban a képlet együtthatók tekinthetők kis paraméternek, a rendezett fázis szabadenergiája ezek hatványai szerint haladó sorban adható meg:

képlet

ahol képlet, illetve képlet az n-edik irreducibilis ábrázoláshoz tartozó képlet együtthatókból alkotott másodrendű, illetve negyedrendű kifejezés. Ezeket abból a megkötésből határozhatjuk meg, hogy a szimmetriasértés ellenére a szabadenergiának magának, mint a rendszer fizikai állapotát jellemző mennyiségnek, invariánsnak kell lennie a rendezetlen fázis minden szimmetriaműveletével szemben. A szabadenergiát a képlet együtthatók szerint minimalizálva kapjuk a szimmetriasértő fázisban a rendparaméter értékét. Harmadrendű invariáns azért nem jelent meg a sorfejtésben, mert elrontaná a folytonos átalakulást. Ezt a kikötést éppen arra lehet felhasználni, hogy kiszűrjük, melyik alcsoport lehet a rendezett fázis szimmetriacsoportja és melyik nem.

A Landau-elmélet jól ismert alakjához akkor jutunk, ha csak egyetlen irreducibilis ábrázolással van dolgunk, és a rendparaméter skaláris. Ilyenkor a szabadenergia szokásos

képlet

alakjából az A és B együtthatókra tett ismert feltevésekkel lehet az átalakulás termodinamikáját leírni.

Még ugyanebben az évben, 1937-ben, Landau arra is rámutatott [12], hogy ha az átalakulási pont közelében megjelenő térbeli inhomogenitásokat is figyelembe akarjuk venni, akkor a szabadenergia sűrűségében meg kell engedni a rendparaméter változására jellemző képlet hatványait tartalmazó tagokat is, vagyis az

képlet

térfogati integrálját kell minimalizálni. Ez volt a kiindulás a szupravezetés Ginzburg-Landau-elméletének [13] kidolgozásához. Mikroszkopikus elmélet híján feltételezték, hogy a rendparaméter a szupravezető elektronok Ψ hullámfüggvénye, ez a kis paraméter, s a szabadenergia ennek hatványai szerint fejthető ki. A többit már a szimmetriamegfontolások diktálták. Ha a rendparaméter hullámfüggvény jellegű mennyiség, a szabadenergia nem függhet annak komplex fázisától, tehát a sorfejtésben |Ψ|2-nek kell megjelennie. Továbbá, mágneses tér jelenlétében a mértékinvariancia megköveteli, hogy a hullámfüggvény gradiensét tartalmazó tagban képlet helyett, a korábban említettek szerint, képlet álljon. A mágneses tér energiáját is figyelembe véve a szupravezető állapot szabadenergiájának sűrűségére így az

képlet

alakot tételezték fel szabad α, β és m* együtthatókkal. Ennek a szabadenergia-sűrűségnek a hullámfüggvény és a vektorpotenciál szerinti minimalizálásával jutunk a Ginzburg- Landau-egyenletekhez.

Nem beszéltünk eddig az e paraméterről. Erre vonatkozóan Megjegyzik, hogy "nincs semmi ok arra, hogy az elektron töltésétől különbözőnek vegyük.” Később, amikor a mikroszkopikus elméletből kiderült, hogy valójában e helyén 2e -nek kell állnia, Ginzburg többször említette, szinte szemrehányóan, hogy ő valójában szerette volna, ha e -t is szabad paraméternek tekintik, de Landau ragaszkodott a fenti mondathoz. Bár Landaunak nem volt tökéletesen igaza, mégis valószínűleg közelebb állt az igazsághoz, mint Ginzburg. Hiszen ha e szabad paraméter lehetne, akkor függne a szupravezető anyagi minőségétől, sőt akár helyfüggő is lehetne. A mértékinvariancia viszont csak univerzális e-vel teljesíthető. A Cooper-párok 2e töltése biztosítja az univerzális értéket, de azok létezéséről akkor még senki sem tudott.

A másodrendű fázisátalakulások Landau-elméletének a jelentőségét nem csökkenti az, hogy ma már tudjuk, bizonyos esetekben a kialakuló új állapotot nem lehet egy lokális rendparaméterrel jellemezni. Létezhetnek fázisok topologikus renddel vagy rejtett rendparaméterrel is.

A Fermi-folyadékok Landau-elmélete

A harmadik példa a Fermi-folyadékok Landau-elmélete [14]. Az már korábban, részben Landau munkásságának köszönhetően ismert volt, hogy a kondenzált anyagok viselkedését sokszor bozon jellegű szabad elemi gerjesztések segítségével lehet értelmezni. A gerjesztett állapotok spektruma általában rendkívül bonyolult, de ha csak a fizikai tulajdonságok szempontjából releváns, a termikus energiával összemérhető vagy annál kisebb energiájú gerjesztéseket tekintjük, hiszen csak ezek lehetnek kellő számban gerjesztve, az ebbe a tartományba eső energiák egy szabad bozongáz spektrumával azonosíthatók. Ilyen elemi gerjesztések a rezgő rács viselkedésének tárgyalásánál megjelenő fononok, a ferro- és antiferromágneses anyagok mágneses tulajdonságainak megértését lehetővé tevő magnonok, vagy a szuperfolyékony héliumban megjelenő rotonok. Mindezek olyan kollektív gerjesztések, amelyeknek csak a kölcsönható rendszerben van értelmük. Ha az atomokat összetartó erőket vagy a mágneses kölcsönhatást képzeletben kikapcsoljuk, a továbbiakban már nem beszélhetünk fononokról vagy magnonokról.

A fémek elektromos tulajdonságainak leírásánál egészen mást tapasztalunk. Az egyszerű fémek viselkedése nagyon jól modellezhető a szabad, töltés nélküli fermionokat feltételező Sommerfeld-modellel. A rács periodikus potenciálja ugyan azt eredményezi, hogy a Bloch-elektronok dinamikáját nem az elektronok me tömegével, hanem egy m* effektív tömeggel kell jellemezni, de az elektronok közötti kölcsönhatás mintha alig játszana szerepet. Landau lényeges felismerése az volt, hogy e mögött a szokásos fermionrendszereknek egy érdekes tulajdonsága rejtőzik. Ha az elektronok közötti kölcsönhatást adiabatikusan kapcsoljuk be, a szabad elektronok gázának alapállapota folytonosan alakul át a kölcsönható rendszer alapállapotába, az egyrészecskés gerjesztett állapotok pedig a kölcsönható rendszer gerjesztett állapotaiba mennek át. Ezért a kölcsönható fermionrendszer gerjesztett állapotait úgy írhatjuk le, mintha bennük fermion jellegű kvázirészecskék lennének gerjesztve. Megint csak Phil Andersonra hivatkozhatunk [11], aki a kvázirészecske-képhez vezető adiabatikus folytatást a szilárdtestfizika másik alapelvének tekintette.

Ahhoz, hogy kvantitatív eredményekhez is el lehessen jutni, szükség volt itt is a kis paraméter megtalálására. Ezt Landau a kvázirészecskék számában ismerte fel. Ha képlet jelöli a ħk impulzusú, σ spinű kvázirészecskék számát, akkor a szabadenergia ennek hatványai szerint kifejthető:

képlet

Bár a kvázirészecskék közötti kölcsönhatást egy többváltozós függvény adja meg, valójában az néhány paraméterrel helyettesíthető. Így a kölcsönható fermionrendszer tulajdonságai - nemcsak az ezzel a szabadenergiával leírható termodinamikai viselkedése, hanem az ugyanezt a kölcsönhatást tartalmazó transzportegyenletből származtatható transzporttulajdonságai is - néhány paraméter segítségével megadhatók.

Az elmélet arra sajnos nem tud választ adni, hogy egy fermionrendszer mikor tekinthető normálisnak, mikor lehet benne kvázirészecskéket definiálni, s mikor sérül az adiabatikus folytonosság. Ma már tudjuk, hogy vannak nevezetes kivételek. Ilyen a szupravezető állapot, amely perturbatívan, még ha végtelen rendig fel is összegezzük a perturbációs sort, nem állítható elő a szabad elektronok rendszeréből. Ennek ellenére a kvázirészecske fogalma, Landau többi eredményével együtt, alapvető szerepet játszik a modern szilárdtestfizikában.

Irodalom
  1. L.D. Landau, Zeitschrift für Physik 40 (1926) 621.
  2. L.D. Landau, Zeitschrift für Physik 45 (1927) 430.
  3. L.D. Landau Összegyujtött munkái. (oroszul) Nauka, Moszkva, 1969; Collected Papers of L.D. Landau. Pergamon Press, Oxford, 1965.
  4. A. Sommerfeld, H. Bethe: Elektronentheorie der Metalle. in Handbuch der Physik. Zweite Auflage, Band XXIV. Zwiter Teil, Verlag von Julius Springer, Berlin, 1933.
  5. V. Fock, Zeitschrift für Physik 47 (1928) 446.
  6. L.D. Landau, Zeitschrift für Physik 64 (1930) 629.
  7. L. Shubnikov, W.J. de Haas, Commun. Phys. Lab. Univ. Leiden, No. 207a, 207d (1930); Proc. Acad. Sci. Amsterdam 33 (1930) 130.
  8. W.J. de Haas, P. M. van Alphen, Commun. Phys. Lab. Univ. Leiden, No. 208d, 212a (1930); Proc. Acad. Sci. Amsterdam 33 (1930) 1106.
  9. L.D. Landau, Proc. Roy. Soc. A170 (1939) 363.
  10. L.D. Landau, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 7 (1937) 19; Phys. Zs. Sowjet. 11 (1937) 26.
  11. P.W. Anderson: Basic Notions of Condensed Matter Physics. The Benjamin/Cummings Publishing Company Inc., Menlo Park, California, 1984.
  12. L.D. Landau, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 7 (1937) 1232; Phys. Zs. Sowjet. 12 (1937) 123.
  13. V.L. Ginzburg, L.D. Landau, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 20 (1950) 1064.
  14. L.D. Landau, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 30 (1956) 1058; 32 (1957) 59; 35 (1958) 97.