Fizikai Szemle honlap

Fizikai Szemle 2005/6. 218.o.

KÁOSZRÓL, KICSIT BŐVEBBEN

Gruiz Márton, Tél Tamás
ELTE Elméleti Fizikai Tanszék

Mi a káosz?

Magunk között (tanárok, fizikusok, mérnökök között) szólva, a káosz a mechanikai mozgások általános formája. Matematikailag fogalmazva, minden, legalább három elsőrendű közönséges differenciálegyenlettel leírható rendszer időbeli viselkedése kaotikus. Szigorúan véve, feltételként megkövetelendő, hogy az egyenletek ne legyenek lineárisak [1]. Ez viszont gyakorlatilag nem jelent megkötést, hiszen a harmonikus oszcillátoron kívül szinte minden mozgás nemlineáris. Mindezekből következik, hogy a káosz a mechanikán kívül is (pl. a töltött részecskék mozgásban, a plazmafizikában, a relativisztikus mechanikában), sőt a társtudományokban (meteorológia, csillagászat, kémia, biológia stb.) is megjelenik (lásd [2-5], valamint a Természet Világa 2002 óta tartó káosz témájú cikksorozatát).

Nem meglepő, ha az Olvasó a káoszjelenségről esetleg még nem hallott, ugyanis a fogalomkör az 1980-as évek végére fogalmazódott csak meg, s még mára sem került bele a hivatalos fizika tananyagba. A Mindentudás az iskolában című rovatban megjelent cikkünkben [6]egyszerű példákkal illusztráltuk a jelenséget.

Ezek jól mutatják, hogy az egydimenziós gerjesztett mozgások, illetve a kétdimenziós súrlódásmentes mozgások már rendszerint kaotikusak. Az utóbbi osztályban az akadályozhatja meg a káosz megjelenését, ha valamely szimmetria miatt az energián kívül még egy megmaradó mennyiség is létezik (mint pl. a Kepler-problémában az impulzusnyomaték) [7-9]. Ebből az is látszik, hogy ha a középiskolából jól ismert bármelyik feladatot (pl. egyetlen lejtőn pattogó golyót, bolygómozgást, Atwood-ejtőgépet, álló lemezen pattogó golyót) kissé általánosítjuk, valamely megkötésétől megszabadítjuk, akkor a mozgás könnyen kaotikussá válhat [10].

Az előző cikkünkben bemutatott példák alapján a kaotikus viselkedés a következőképpen definiálható:

I. definíció: A káosz a kevés szabadsági fokú rendszerek olyan mozgása, mely időben szabálytalan, véges számú periodikus mozgás összegeként sem áll elő,

Ezek a tulajdonságok általában egymást feltételezik, egyszerre vannak jelen. Ha tehát egy fizikai rendszer hosszú távon aperiodikus, akkor időbeli fejlődése megjósolhatatlan és egyben - alkalmas ábrázolásban - fraktálszerkezetű (lásd Vicsek Tamás írását a 221. oldalon).

A hagyományos szemlélet oldaláról nézve mindhárom újszerű és meglepő. Mivel a kezdeti bizonytalanságok növekedése exponenciális ütemű, akármilyen kicsiny is a kezdeti különbség, az viszonylag rövid idő alatt nagyra nő. A kaotikus mozgás ezért hosszú távon előre jelezhetetlen, hosszú idejű viselkedése véletlenszerű.

A három definiáló tulajdonság mögött - magasabb szinten - egyetlen közös vonás áll: a hosszú idejű viselkedés csak valószínűségi fogalmakkal írható le. A kaotikus rendszerekben mindig kialakul egy időfüggetlen valószínűségeloszlás. Ez a természetes eloszlás megmutatja, hogy a fázistér egy-egy pontját milyen gyakran látogatja meg a rendszer hosszú idő alatt (1. ábra).

A káosz ezért definiálható úgy is, mint

II. definíció: A káosz a kevés szabadsági fokú rendszerek olyan mozgása, melyet hosszú távon csak valószínűségeloszlással lehet helyesen (és tetszőleges pontossággal) jellemezni.

1. ábra

 Ugyanakkor a káosz semmiképpen nem zaj, hiszen abban a valószínűségi viselkedés minden lehetséges állapotra kiterjed (és a valószínűségeloszlás sima), a káoszban viszont ezeknek csak egy fraktálszerkezetű részhalmazára (és az eloszlás maga is fraktál). Zaj esetén tehát egy adott helykoordinátába folytonosan sok sebességértékkel térhet vissza a rendszer, s a közeli sebességekhez közel azonos valószínűség tartozik. A kaotikus mozgásban viszont egy-egy helykoordinátához szintén végtelen sok, de nem összefüggő, hanem izolált, kitüntetett sebességértékek tartoznak (melyek összessége fraktál), s ráadásul még a nagyon közeliek valószínűsége is erősen különböző lehet (lásd 1. ábra).

E véletlenszerű, sztochasztikus viselkedés eredete bizonyíthatóan a kevés összetevő erős és nemlineáris kölcsönhatása. Meglepő ez, ugyanis olyan rendszerekről van szó, melyekben egy adott állapotból a törvények ismeretében elvileg teljes pontossággal következtethetünk a jövőre. Ezzel tehát a klasszikus mechanikában is elkerülhetetlenné válik a valószínűségi szemlélet! Az, amiről eddig azt hittük, hogy a mikrovilág, a kvantummechanikai állapotjellemzés velejárója, jó fél évszázaddal később a makrovilág mozgásaiban is alapvető jellemzőnek bizonyul (természetesen egészen más okból). A mechanikán kívüli előfordulásokat is figyelembe véve azt mondhatjuk, hogy egész természetszemléletünk átértékelését követeli meg az a tény, hogy determinisztikus rendszerek hosszú távon véletlenszeru viselkedést mutathatnak.

Mit nem érdemes kaotikusnak tekinteni?

A káosz előrejelezhetetlenségi tulajdonsága alapján csábítónak tűnhet a következő definíció

III. definíció(?): A káosz bármely mozgás, mely hosszú távon előre jelezhetetlen.

Ezzel a definícióval azonban túl sokat markolnánk. Ne feledjük, az ideális gáz minden egyes részecskéjének mozgása egyfajta bolyongás, és ezért hagyományos értelemben hosszú távon előre jelezhetetlen (történetileg éppen ez vezetett el, Einstein Brown-mozgással kapcsolatos munkája [11] nyomán a stochasztikus folyamatok elméletéhez). Másrészt, erre a kiszámíthatatlan viselkedésre Boltzmann kinetikus elmélete óta létezik a molekuláris káosz fogalma. Érdemes ezért az I. és a vele egyenértékű II. definíciót, a determinisztikus káosz fogalmát a kis szabadsági fokú rendszerekre fenntartani. Ezek véletlenszerű viselkedése amúgy is sokkal meglepőbb, mint a nagy szabadsági fokúaké. A molekuláris káosz így a zaj szinonimája maradhat.

A III. definíció elvetése azzal az előnnyel is jár, hogy nem kényszerülünk a turbulenciát, a folyadékok (egy nagy szabadsági fokú rendszer) időben is és térben is szabálytalan viselkedését káosznak tekinteni. Nyugodtan mondhatjuk, hogy a turbulencia a káosznál jóval bonyolultabb.

A légkör sok összetevőből álló, nagy szabadsági fokú rendszer, melynek állapota gyakran turbulens. A meteorológia ennek ellenére fontos szerepet játszott és játszik a káosz kutatásában. Edward Lorenz meteorológus fedezte fel 1963-ban, hogy az egyszerű rendszerek is lehetnek előre jelezhetetlenek [2, 5, 12]. A legújabb kutatások azt bizonyítják, hogy bizonyos földrajzi helyeken és bizonyos időpontokban a légkör úgy viselkedhet, mint egy kevés összetevőből álló rendszer. Ott és ilyenkor ezért - annak ellenére, hogy az egész légkör turbulens - a káoszról szerzett ismeretek haszonnal alkalmazhatók [2].

A káosz hasznáról és káráról

A káosz tehát egy érdekes, a hagyományoshoz képest újfajta mozgásforma. Létezésének, az emberi felhasználás szempontjából, vannak hasznos és hátrányos következményei is. Hasznos lehet például a folyadékokban történő sodródásban, miután éppen a káosz vezet a jó keveredéshez. Nem csoda hát, hogy a kaotikus dinamika egyik alapmodellje az úgynevezett péktranszformáció [1], mely ugyanazt a szerepet játssza a szabálytalan mozgások megértésében, mint a harmonikus oszcillátor a szabályosakéban. A turmixgép annál hatékonyabb, minél kaotikusabb benne a folyadékelemek mozgása. A környezetvédők körében még mindig nem ismeretes, hogy a szennyező anyagok nagyskálájú terjedését kizárólag a káosz ismeretében lehet érdemben megérteni.

A szabálytalan rezgések kialakulása, az áramkörök begerjedése, vagy az űrhajók eltérülése a tervezett iránytól viszont olyan folyamatok, melyeket elkerülni igyekszünk. Igen kicsi, de mégsem zérus annak a valószínűsége, hogy valamelyik kisbolygó kaotikus mozgása során a következő évtizedekben összeütközik a Földdel.

A káosz egyik különleges tulajdonsága, hogy időbeli szabálytalansága ellenére szabályozható, periodikussá tehető. Ezt éppen a káosz sajátos vonásai teszik lehetővé. Az egyik legelterjedtebb eljárás a bölcs gyermeknevelésre emlékezet: megvárjuk, amíg a rendszer a kaotikus mozgás során magától olyan állapotba jut, ahol jól megválasztott kicsiny külső hatás is elegendő ahhoz, hogy következményeként a mozgás periodikussá, tehát szabályossá váljék, azaz a kaotikusság ne maradjon fenn többé.

Tanítható-e (tanítandó-e) a káosz?

Jelen és előző cikkünkben példáinkat úgy választottuk meg, hogy nyilvánvalóvá váljék: a káosz tényleg egyszerű rendszerekben fordul elő. A kettős lejtőn (vagy a rezgő lemezen) pattogó golyó mozgását egy igényes középiskolás egyedül is (egy kevésbé igényes, tanári segítséggel vagy szakkörön) végig tudja számolni. Csak a hosszú idejű iteráció követését kell számítógépre bízni. Könnyen megérthető az is, hogy egyszerű matematikai struktúrák bonyolult időfüggésű dinamikákra vezethetnek [13, 14]. A fraktálszerkezetet feltáró megfelelő mintavételezési módszer kiválasztása, a fázistér fogalma és a valószínűségi szemlélet viszont túlmutat azon, amit ma középiskolában széleskörűen tanítani lehetne.

Érdekes módon azonban a kaotikus mozgás szabálytalan, és előre jelezhetetlen jellege kísérleti eszközökkel középiskolás szinten is jól hozzáférhető. Ezt bizonyítja Békéssy László István és Bustya Áron bajai diákok dolgozata [15] a kettősinga mozgásáról. Annak ellenére, hogy a pontos mozgásegyenletet bonyolultsága miatt [9] az elméleti fizika előadásokon sem mindig vezetjük le, a két inga végpontjának pályája egy-egy LED-del jól kirajzolható és vizsgálható. Sótér Anna székesfehérvári középiskolás Edward Lorenz könyvének [12] útmutatása alapján kaotikus vízikereket épített. Egy ferde tengelyű korong peremére kilyukasztott aljú műanyag kávéspoharakat rögzített. A korong felső részére egyenletes erősségű vízsugarat engedve, a poharak különféle mértékig telnek meg, és a korong forogni kezd. A forgás szabálytalan időközönként változtatja irányát, a kerék mozgása kaotikus [16]. Biró István marosvásárhelyi diák a mágneses inga mozgását tanulmányozta. Egy fotópapír alá két mágneses korongot rögzített, s fölé hosszú ingát szerelt, melynek végére vastekercset helyezett. A tekercsek közé tett lézermutatóval a fotópapíron jól kirajzolható az inga pályája, sőt a feketedés mértékéből a pillanatnyi sebességre is következtetni lehet [17].

A kaotikus jelenségek játékos formában történő elsajátításához nagy segítséget nyújthatnak a szimulációs programok (lásd pl. [10]), különösen manapság, amikor a diákok a hagyományos tankönyvekkel szemben egyre inkább a számítógépek és az internet világában mozognak otthonosan. E programok használatakor a kezdőfeltételek és paraméterek változtatása révén a diák a tananyag passzív befogadójából aktív szereplővé lép elő, amely modern pedagógiai és módszertani ismereteink szerint nagyságrendekkel növeli a tanulás hatékonyságát.

A kaotikus rendszerek akár kísérleti, akár számítógépes tanulmányozása sajátos élményt nyújt. Egy nemlineáris rendszer megismerése ugyanis valódi "kaland", hiszen nagyon sok jelenség csak a konkrét mérés vagy szimuláció közben tárul föl, legtöbbször teljesen váratlanul, meglepetést okozva. Ennek során a diák megízlelheti a felfedezés örömét, s érdeklődése a tudományok irányába terelődhet.

Összességében úgy gondoljuk, hogy a káosz középiskolai tanításának megteremtése nem is technikai, sokkal inkább lelkiismereti kötelességünk. Miután felismertük, hogy a jelenleg tanított fizikai mozgásformák mind kivételek, vajon megtehetjük-e, hogy a szabályról, az általános mozgásformáról - amely ráadásul alkalmas arra, hogy a fizika újszerű vonásaira és egyben a mindennapi élettel való kapcsolatára is felhívja a figyelmet - nem ejtünk szót? A Fizika Világéve szellemében csakis a nem lehet a válasz.1 Kollégáinkat ez irányban történő további közös együttgondolkodásra buzdítjuk.

Köszönetnyilvánítás

Köszönet illeti Jaloveczki József (Baja) és Máthé Márta (Marosvásárhely) tanárokat a káosz kísérleti vizsgálatával foglalkozó középiskolás diákok felkészítéséért és munkájuk irányításáért.

Irodalom

  1. TÉL TAMÁS, GRUIZ MÁRTON: Kaotikus Dinamika - Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002
  2. GÖTZ GUSZTÁV: Káosz és prognosztika - Országos Meteorológiai Szolgálat, Budapest, 2001
  3. ÉRDI BÁLINT: A Naprendszer dinamikája - Eötvös Kiadó, Budapest, 2001
  4. F. DIACU, P. HOLMES: Égi találkozások, A káosz és a stabilitás eredete - Akkord Kiadó, Budapest, 2003
  5. J. GLEICK: Káosz, egy új tudomány születése - Göncöl Kiadó, Budapest, 1999
  6. GRUIZ MÁRTON, TÉL TAMÁS: A káosz - Fizikai Szemle 55 (2005) 191
  7. BUDÓ ÁGOSTON: Mechanika - Tankönyvkiadó, Budapest, 1972
  8. NAGY KÁROLY: Elméleti mechanika, 2. kiadás - Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002
  9. L.D. LANDAU, E.M. LIFSIC: Elméleti fizika I, Mechanika - Tankönyvkiadó, Budapest, 1974
  10. TÉL TAMÁS, GRUIZ MÁRTON: Mi a káosz? (És mi nem az?) - Természet Világa 133 (2002) 296
  11. A. EINSTEIN: Über die molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen - Annalen der Physik 17 (1905) 549
  12. E.N. LORENZ: The essence of Chaos - The University of Washington Press, 1993
  13. GÁSPÁR VILMOS: Játsszunk káoszt! - Természet Világa 133 (2002) 299
  14. KECSKÉS LAJOS: Egy ölnyi végtelen - Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002
  15. BÉKÉSSY LÁSZLÓ ISTVÁN, BUSTYA ÁRON: Fizikai kettősinga vizsgálata - Fizikai Szemle 55 (2005) 185
  16. SÓTÉR ANNA: Lorenz modelljének kísérleti vizsgálata és a kaotikus vízikerék - Természet Világa 134 (2003) LXXIII
  17. BIRÓ ISTVÁN: Mágneses inga kísérleti tanulmányozása - kézirat, beküldés elott a Fizikai Szemléhez
  18. HÓBOR MIKLÓS, GRUIZ MÁRTON, GÁLFI LÁSZLÓ, TÉL TAMÁS: Kaotikus mozgások, szimulációs program - ELTE Elméleti Fizikai Tanszék, Budapest, 2001

_____________________________________________________

1 Ausztriában már megjelentek olyan középiskolai fizika tankönyvek, melyek kitekintést nyújtanak a kaotikus jelenségek világába, például: ALBERT JAROS, ALFRED NUSSBAUMER, HANSJÖRG KUNZE: Basiswissen Physik- compact - Öbv&hpt, Wien, 1999.