-függvényt kellett bevezetnie, amely a következő furcsa tulajdonságokkal rendelkezett:Fizikai Szemle nyitólap |
Tartalomjegyzék |
Fizikai Szemle 2003/12. 420.o.
Bencze Gyula
KFKI Részecske- és Magfizikai Kutatóintézet
Neumann János neve a nagyközönség számára elválaszthatatlanul összefonódott a játékelmélettel valamint az elektronikus számítógépekkel. Csak kevesen tudják, hogy ez a sokoldalú és széles érdeklődési körű kutató kiemelkedő fontosságú eredményeket ért el mind a matematika számos területén (halmazelmélet, csoportelmélet, mértékelmélet, operátorok elmélete, folytonos geometriák stb.), mind pedig az elméleti fizika, különösképpen az akkor megszületőben lévő kvantumelmélet szigorú megalapozása témakörében.
Neumann János életpályája és az elméleti fizikában elért eredményei érdekes módon összefonódnak gyermekkori barátja és iskolatársa, Wigner Jenő munkásságával, valamint a kvantummechanika elméleti megalapozásának izgalmas történetével.
Az 1920-as évekre elegendő kísérleti adat és megfigyelés halmozódott fel, hogy felmerüljön az átfogó elméleti magyarázat igénye arra a tényre, hogy a mikrovilág fizikai rendszereinek lehetséges állapotai bizonyos körülmények között miért csak meghatározott, diszkrét értékeket vehetnek fel. Heisenberg, Born és Jordan 1925-ben dolgozott ki egy elméletet, amely a "mátrixmechnika" elnevezést kapta [1]. Ebben az elméletben a rendszer energiáját meghatározó fizikai mennyiségek mátrixokkal hozhatók megfeleltetésbe, így a rendszer energiája is mátrix alakjában áll elő. E mátrix sajátértékei pedig éppen a rendszer megengedett állapotainak megfelelő energiák.
Nem kellett azonban sokáig várni arra, hogy 1926-ban Schrödinger kidolgozza a híres hullámegyenletén alapuló "hullámmechanikát", amelyből igen egyszerű és kvantitatív módon levezethető volt például a hidrogénatom Bohr-féle modellje [2]. A kétféle kvantummechanika látszólag nagyon különbözött egymástól. Míg Heisenberg mátrixokkal, Schrödinger operátorokkal reprezentálta a fizikai mennyiségeket, vagyis mátrixegyenletek álltak szemben egy parciális differenciálegyenlettel. A kétfajta megközelítés (matematikai) egyenértékűségét Schrödinger mutatta meg 1926-ban [3].
A kvantummechanika egységes formalizmusát Dirac dolgozta ki, aki egyrészt megadta a hullámegyenlet kovariáns megfogalmazását, másrészt az időközben Goudsmit és Uhlenbeck által felfedezett elektronspint is beépítette az egységes elméletbe. Dirac az elméletet 1930-ban tette közzé The Principles of Quantum Mechanics című könyvében, amely azóta számos kiadást ért meg [4].
Neumann János 1927-1928-ban Göttingenben David Hilbert mellett a funkcionálanalízis terén végzett kutatásokat, miközben alkalma volt nyomon követni a kvantummechanika formalizmusának megszületését is. Ugyancsak Göttingenben tartózkodott ugyanakkor Hilbert asszisztenseként Wigner Jenő is, aki az atomok spektrumának értelmezésére a csoportelmélet módszereit alkalmazta. Ez időből származik három közös publikációja is Neumann Jánossal, akivel a csoportelméleti módszert kiterjesztették az elektronspin figyelembe vételére is az atomok energiaspektrumának meghatározásánál [5]. Wigner Jenő kiterjedt kutatásainak eredményeit Gruppentheorie und Ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atomspektren című, 1931-ben megjelent könyvében összegezte [6].
Neumann János, aki a Hilbert-tér (ez az elnevezés is tőle származik) operátorainak spektrálelméletével foglalkozott, azonnal észrevette, hogy a matematikának ez a fejezete kiválóan megfelel arra a célra, hogy a kvantummechanikát korrekt és szigorú matematikai alapokra helyezze. 1927-1929 folyamán több fontos cikket jelentetett meg a kvantummechanika matematikai alapjairól [7], amelyek következménye volt klasszikussá vált könyve, a Mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik megjelenése 1932-ben [8].
A mátrixmechanika és a hullámmechanika közötti "transzformáció" megvalósításához, illetve az úgynevezett folytonos spektrumhoz tartozó, nem normálható hullámfüggvények kezelésére Diracnak egy különös "függvényt", a Dirac-féle -függvényt kellett bevezetnie, amely a következő furcsa tulajdonságokkal rendelkezett:
Ilyen függvény, amely mindenütt zérus, kivéve a nulla értéket, ahol olyan mértékben válik végtelenné, hogy az integrálja egységnyi, természetesen a hagyományos értelemben nem létezik, ezért a matematikusok, köztük Neumann János is, idegenkedtek ettől a "fizikusi" megoldástól. Szerencsére a funkcionálanalízis rendelkezett a megfelelő eszközökkel, így a szigorú matematikai tárgyalásban ezt a kellemetlenséget el lehetett kerülni. Azóta természetesen a -függvény a disztribúcióelmélet keretében megfelelő megalapozást nyert, és a fizikusok továbbra is előszeretettel használják Dirac elegáns formalizmusát annak tudatában, hogy annak használata helyes eredményre vezet.
Könyve előszavában Neumann János a következőket írja: "Dirac mind a nemrég kiadott könyvében, mind pedig számos cikkében a kvantummechanikát felülmúlhatatlanul elegánsan, tömören, és ugyanakkor invariáns formában fogalmazta meg. Ezért talán helyénvaló, hogy a mi módszerünk mellett - ez Diracétól lényegesen eltér - néhány érvet sorakoztassunk fel.
Dirac fent említett módszere (és erről világossága és eleganciája miatt a kvantummechanika irodalmának nagy részében manapság elfeledkeznek) nem elégíti ki a matematikai szigorúság követelményeit még akkor sem, ha azokkal szemben az elméleti fizika egyéb ágaiban közismert és természetes módon engedményeket teszünk. E módszer például erőteljesen tapad ahhoz a fikcióhoz, hogy minden önadjungált operátor diagonális alakra hozható. Az ilyen operátoroknál, ahol ez nem lehetséges, önellentmondó tulajdonságokkal rendelkező különleges függvények bevezetésére van szükség. Az ilyen matematikai »fikciókra« Dirac módszerében még akkor is szükség van, amikor szemléletesen definiált kísérlet eredményének numerikus kiszámítására kerül sor. Nem lenne helye az ellenvetésnek akkor, ha ezekre az analízis jelenlegi kereteibe be nem illő fogalmakra a fizikai elmélet sajátos szerkezete miatt szükség volna. Arra gondolhatnánk, hogy amint Newton mechanikája maga után vonta az eredeti formájában kétségtelenül ellentmondásos infinitezimális kalkulus fejlődését, úgy a kvantummechanika is »a végtelen sok változó analízisének« új formáját sugallja, vagyis hogy a matematika apparátusát kell megváltoztatni, nem pedig a fizikai elméletet. A helyzet azonban semmi esetre sem ez. Hangsúlyozni kell, hogy a kvantummechanika »transzformációelméletét« olyan alakba lehet önteni, amely világos, egyértelmű és matematikai szempontból sem kifogásolható. Rá kell mutatnunk, hogy ez a korrekt felépítés nem abban áll, hogy Dirac módszerét pontosítjuk és megmagyarázzuk, hanem az alapoktól kezdve más eljárásra lesz szükségünk; ez az eljárás az operátorok Hilbert-féle spektrál elméletére támaszkodik "
A könyv egy másik fejezetében Neumann a következőképpen fogalmaz: "Nem kívánjuk tovább követni ezt a gondolatmenetet, amelyet Dirac és Jordan a kvantumfolyamatok egységes elméletévé kovácsolt. Az »illetlen« függvények [mint például a 
(x) és a 
(x)] amelyek ennek kiépítésében meghatározó szerepet játszottak, az általánosan használt matematikai módszerek területén kívül esnek, és a mi célunk éppen az, hogy a kvantummechanikát ez utóbbi módszerekkel írjuk le."
A könyv hatalmas sikert aratott, számos nyelvre fordították le, sajnos a magyar kiadásra majd 50 évet kellett várni! Wigner Jenő Neumann eredményeinek értékelése kapcsán fogalmazta meg a véleményét e műről: "A leggyakrabban említett hozzájárulása fizikához a számítógép, de én nem ezt tartom a legfontosabbnak. Egy másik dolog, amit én szintén csodálok, egy új típusú atombomba, az implóziós bomba kifejlesztése volt. Ez is nagyon fontos eredmény volt. De én ezeknél az eredményeknél fontosabbnak tartom a kvantummechanika matematikai alapjairól írt könyvét. Ez a kvantummechanika sok olyan szabályát tartalmazza, amelyekről véleményem szerint tudta, hogy nem véglegesek és nem igazán helytállóak. De rendszerezni akarta a témakört. Hogy tudta, hogy az nem teljes, abból is lehet látni, ahogyan leírta a mérés, folyamatát. Azt írta, hogy a kvantummechanika nem alkalmazható a mérési folyamatra, ami azt jelenti, hogy a kvantummechanikának korlátozott az érvényességi köre, sőt még az alapelvei is konfliktusban vannak egymással..."
L. van Hove, a CERN egykori főigazgatója 1958-ban a következőképpen értékelte Neumann János munkásságát a kvantummechanika terén [9]: "A kvantummechanikának nagy szerencséje volt, hogy röviddel az 1925-ben történt felfedezése után sikerült felkeltenie egy Neumann kaliberű matematikai zseni érdeklődését. Ennek eredményeképpen egyetlen ember mindössze két év alatt (1927-1929) kifejlesztette az elmélet matematikai formalizmusát, és interpretációjának teljesen újszerű szabályait részletes elemzésnek vetette alá."
1954-ben Neumann János még utoljára kirándult a kvantummechanika területére, és Wigner Jenővel közösen ismét egy, ezúttal a kvantummechanikai szórásfolyamatok tárgyalásánál fellépő matematikai problémát tárgyalt kimerítően [10]. Wigner és Eisenbud 1947-ben kidolgozott egy magreakció elméletet, amely R-mátrix-elmélet névvel vált ismertté a szakirodalomban [11]. A Neumann Jánossal közösen írt cikkben ennek a mátrixnak az analitikus tulajdonságait vizsgálják a rendszer energiájának függvényében. E cikk eredményei tették többek között lehetővé az úgynevezett rezonanciareakciók részletes és viszonylag egyszerű matematikai módszerekkel történő vizsgálatát.
Neumann János úttörő munkásságát többen továbbfejlesztették, köztük kiemelkedő szerep jutott Riesz Frigyesnek és Szőkefalvi-Nagy Bélának, akik 1952-ben francia nyelven jelentettek meg egy monográfiát a funkcionálanalízis legújabb eredményeiről [12]. Azóta ez a könyv a kvantumelmélet matematikai apparátusát használók számára szinte "bibliává" vált, és a kvantum szóráselméletben manapság standard referencia, bizonyos mértékig helyettesítve Neumann János monográfiáját. Ismét csak magyar sajátosság, hogy e kitűnő könyvnek is majd fél évszázadot kellett várnia, hogy a szerzők anyanyelvén is megjelenhessen!
Neumann János a mátrixmechanika dinamikai egyenleteit bizonyos szempontból az integrálegyenletekkel állította analógiába, amelyek elmélete Fredholm kutatásainak köszönhetően már igen magas fejlettségi szintet ért el. Ennek megfelelően kutatásaiban kiterjedten alkalmazta a funkcionálegyenletek, például integrálegyenletek elméletének módszereit. Érdekes módon Neumann János e felismerését igazolja a modern kvantum-szóráselmélet, amelyben az integrálegyenletek elméletének matematikai apparátusa kiemelkedően fontos szerephez jut.
B.A. Lippmann és J. Schwinger 1947-ben transzformálta át a Schrödinger-egyenletet egy ekvivalens integrál-egyenletté, amelyet ma a szakirodalom Lippmann-Schwinger-egyenletnek nevez [13]. Ez az egyenlet a kéttestprobléma esetén rövid hatótávolságú potenciálokra Fredholm-típusú, így a Fredholm-elmélet eredményei alapján különösen egyszerűen tárgyalható. Példaként említhető, hogy az úgynevezett Fredholm-alternatíva garantálja: a rendszer energiaspektrumának diszkrét és folytonos része nem fedheti át egymást. Nem sokkal később felismerték, hogy kettőnél több részecske esetén az egyenlet szingulárissá változik, ezért az integrálegyenletes formalizmus alapvető módosításra szorul. A kvantummechanikai háromtest probléma L. D. Fagyejev által kidolgozott szigorú matematikai elmélete [14] az integrálegyenlet magjának "regularizálásával" - a szingularitásért felelős tagok invertálásával - a szingularitást megszünteti, és az eredményként nyert csatolt integrálegyenletek magja már Fredholm-típusú lesz. Hasonló megfontolások alapján született meg az egzakt N-részecske-integrálegyenletek egy egész családja, amely ma már elvben lehetővé teszi a kvantummechanikai N-test-probléma szisztematikus megoldását [15]. Sajnos a hosszú hatótávolságú Coulomb-kölcsönhatás egzakt tárgyalása az integrálegyenleteken alapuló és a gyakorlatban is könnyen alkalmazható formalizmus keretében a mai napig nem megoldott. Nagy kár, hogy Neumann János nincs már közöttünk, ő bizonyosan ma is tudna hasznos tanácsokkal szolgálni!
___________________________
Megjelent a Természet Világa 2003/III. különszámában, a folyóirat és a szerző engedélyével közöljük.