BOLYGÓMOZGÁSRÓL - EGY RÉGI VERSENYFELADAT KAPCSÁN

P.A. Horváthy
Laboratoire de Mathématiques et de Physique Théorique
Université de Tours,
Franciaország

Az 1969. évi Eötvös-verseny első feladata a következőképpen hangzott: g tömegű, R = 3600 km rádiuszú égitest felszíne felett 400 km magasan egy űrhajó kering körpályán. Fékezőrakétáját rövid ideig menetiránnyal szemben működtetve olyan ellipszispályára tért, amelyben az égitest átellenes pontján elérte annak felszínét. A fékezéskor mozgási energiájának hányad részét kellett elveszítenie?

A feladat megoldását Vermes Miklós gyűjteménye [1] csak vázlatosan tárgyalja, pedig behatóbb vizsgálat további érdekes tulajdonságokat tár föl, s ez a probléma mélyebb megértéséhez vezet. A lényeg a következő. Fékezés ideje rövid, s így utána az űrhajó térbeli helyzete gyakorlatilag változatlan. A sebesség csökkenése miatt a vonzóerő túlsúlyba kerül és a mozgást "befelé görbíti": a pálya

fél nagytengelyű ellipszis (itt r a körpálya sugara).

A feladat a tér egyazon pontján átmenő elliptikus és körtrajektóriák aphéliumi kinetikus energiájának összehasonlítása. A megoldás kulcsa a következő állítás: Az elliptikus és körmozgás [aphéliumi] kinetikus energiáinak aránya:

(1)

azaz a fékezés utáni ellipszis perihélium-távolságának és fél nagytengelyhosszának aránya.¹ Figyeljük meg, hogy az eredmény mindkét égitest tömegétől független és csak a pályák geometriai méreteitől függ. Innen már következik a feladatban kitűzött kérdésre a válasz:

(2)

Tekintve, hogy

az excentricitás, (2) az ₌ e/a alakban is írható: a relatív kinetikus energiaveszteség a pálya numerikus excentricitása, azaz a kör ellipszissé lapulásának mértéke. A fenti adatokkal számolva, az eredmény = 1/19.

Az alábbiakban (1) különböző szempontból való bizonyítását adjuk. Bizonyításaink az egyszerűbbtől a bonyolultabb, az elemitől a több előismeretet kívánó felé haladnak.

Mivel a válasz nyilvánvalóan nem függ az űrhajó tömegétől, válasszuk utóbbit egységnyinek.

Első megoldásunk lényegében azonos Vermes Miklóséval [1]. A körmozgás törvénye szerint

, (3)

(ahol f a gravitációs állandó), s így a körmozgás kinetikus energiája:

. (4)

A keringési idő (négyzete) eszerint

(5)

Kepler III. törvényét a kör- és elliptikus mozgásokra alkalmazva, megkapjuk a fékezés utáni keringési időt:

Az ellipszis területe ab, ahol b a fél kistengely.

s ezért a terület

Így a területi sebesség, mely Kepler II. törvénye szerint konstans:

Aphéliumban

s így a fékezés utáni sebesség

A fékezés utáni mozgási energia tehát

ahonnan(1) következik.

Második megoldásunk az energia- és impulzusmegmaradás tételén alapul. Fékezés után a kezdeti ("aphéliumi") és becsapódási ("perihéliumi") sebességeket v_a és v_p-vel jelölve, az energia- és az impulzusmegmaradási (Kepler II.) tételek szerint:

A számunkra érdektelen perihéliumi sebességet eliminálva megkapjuk az elliptikus mozgás (9) kinetikus energiájának képletét.

Harmadik megoldásunk egy, a KöMaL-ban korábban kitűzött feladatra [2] támaszkodik.

A bizonyítás lényege (lásd pl. [3] 21. fejezet 5, 98. o.) az, hogy a teljes energia

s ezért a teljes energia fordítva arányos a nagytengely hosszával:

Ekkor (12) épp az energiamegmaradás. Megjegyzendő, hogy (13) konzisztens a körmozgás esetében (4)-ből levezethető képlettel.

Körpályánál a = r, a fékezés utáni ellipszispálya esetén pedig a = ( r+ R )/2, amelyet (12)-be írva (4)-et, illetve (9)-et kapjuk.

Még egyszerűbben, fékezéskor az összenergia változása a kinetikus energiák változása - hiszen a potenciális energia csak a pozíciótól függ -, ami a kétfajta mozgásnál ugyanaz. Így (13) szerint

Ide fM/2r helyére (4) szerint -t írva, közvetlenül (2)-t kapjuk.

Érdemes megjegyezni, (12) szerint a pálya r pontjában a mozgási és helyzeti energia aránya

Körpálya esetén, illetve a fékezési utáni elliptikus mozgásnál ezért

leosztva újra (1)-et kapjuk.

A megoldáshoz fűzött megjegyzésében az eredményt Vermes a "kinetikus energia kistengely-függetlenségével" magyarázza, mely szerinte Kepler III. törvényével állna kapcsolatban. Ez azonban nem így van: míg - (13) értelmében - a bolygómozgás összenergiája csak a pálya nagytengelyétől függ, a kinetikus és helyzeti energia összenergiából való részesedésére ez már nem igaz. (15) szerint:

Az ellipszis adataival kifejezve, az aphéliumi kinetikus energia

ami függ a kistengelytől. Kepler III. törvénye ugyanis nem a mozgási energiák kistengely-függetlenségét vonja maga után (ami, tekintve a mozgási energia helyfüggését, egyszerűen értelmetlen állítás lenne), hanem a következőket [4]: ha egy bolygómozgást a fókuszból -szorosra nyújtunk és közben az időt -nel szorozzuk, akkor újra egy lehetséges bolygómozgást kapunk; az egymásnak megfelelő pontokban a kinetikus és a potenciális energia úgy aránylik egymáshoz, mint a geometriai méretek reciprokai:

Ez a formula valóban emlékeztet (1)-re, melynek jobb oldala eszerint úgy lenne interpretálható, mint a fékezés utáni ellipszis fél nagytengelyhosszának (fordított) aránya egy másik, eddig nem vizsgált, elliptikus mozgás fél nagytengelyhosszával. Utóbbi R, a perihélium-távolság lenne (s ezért a központi égitest ottléte miatt csak hipotetikus). Az új, R fél nagytengelyű elliptikus mozgás aphéliumi kinetikus energiája megegyezne az eredeti körmozgás kinetikus energiájával - de nem ez volt a kérdés. A félreértés eredete R összekeverése r-rel, a körmozgás "fél nagytengelyével" (lásd 1. lábjegyzet).

Vermes érvelése javítható: zsugorítsuk össze az eredeti körmozgást úgy, hogy az új sugár épp a fékezés utáni elliptikus trajektória nagytengelye legyen, azaz tekintsük az eredeti körmozgás

-szeres zsugorítását. Ennek összenergiája (18) szerint (és (13)-mal konzisztensen)

(13) szerint azonban ugyanennyi a fékezés utáni elliptikus mozgás összenergiája is, , hiszen a nagytengelyek egyenlőek. Így

amiből (16)-ot használva újra (1)-et kapjuk.

Jegyezzük meg, hogy Kepler III. törvénye önmagában nem volt elegendő ahhoz, hogy a fékezés utáni elliptikus és a "zsugorított körmozgás" összenergiáinak egyenlő voltát levezessük. Ehhez tudnunk kellett, hogy az összenergia csak a nagytengely hosszának függvénye: (13) Kepler III. törvényénél erősebb állítás.

Használjuk a mechanika Newton-féle törvényének a részecskével együtt mozgó koordinátarendszerben felírt alakját. Tetszőleges formájú pálya esetén (3) általánosítása ([3], 3. fej. 20. o.) szerint a gyorsulás normális komponense v²/, ahol a vizsgált pontbeli görbületi sugár. Az ellipszis extremális pontjaiban a gyorsulás normális irányú,² s ezért

Körre = r, s így

hiszen az erő mindkét mozgás esetén ugyanaz. Szavakban: a kinetikus energiák aránya a görbületi sugarak aránya. De az ellipszis extremális pontjaiban a görbületi sugár az ellipszis paramétere,

ahonnan újra (1) következik. Az eredmény megerősíti előző intuíciónkat: a sebesség csökkentése növeli a görbületet.

Az erő konkrét alakját, f M / r²-et (19)-be beírva a fékezés utáni sebesség meghatározható:

de erre az általunk vizsgált esetben nincs szükség, elég volt tudni, hogy a trajektória ellipszis.

A II. megoldáshoz hasonló levezetés kapható az úgynevezett Runge-Lenz-vektor

segítségével is, ahol L = r x v a megmaradó impulzusmomentum és a Naptól a bolygóhoz mutató r rádiuszvektorral párhuzamos egységvektort jelöli. Ezt a vektort Laplace vezette be (Laplace: "Traité de Mécanique Céleste", Paris, 1799), majd Hamilton fedezte fel újra 1845-ben. Az elnevezés eredete, hogy K (feladatként) felbukkan C. Runge 1919-es vektoranalízis-könyvében. 1924-ben W. Lenz, majd 1926-ban W. Pauli a hidrogénatom kvantummechanikai leírásánál használta. Eredetét és alkalmazásait például a fiatalon elhunyt Györgyi Géza tanulmányozta a hatvanas évek végén [5].

K-t az idő szerint differenciálva, a

relációt és a mozgásegyenletet felhasználva beláthatjuk, hogy K = 0, azaz K mozgásállandó. K-t L-lel skalárisan szorozva nullát kapunk, s ezért K a pályasíkban fekszik, hiszen L erre merőleges és a Naptól a perihélium-pont felé mutat. (22)-t r-rel szorozva,

Kihasználva, hogy

innen

ahol a K és az r szöge. (23) egy p paraméterű, numerikus excentricitású kúpszelet polárkoordinátás egyenlete.

A minket érdeklő problémához visszatérve, figyeljük meg, hogy pálya extremális pontjaiban

ahol ệ a Naptól a perihélium-pont felé mutató egységvektor. L hossza nyilván L = v_p r_p = v_a r_a [lásd (11)]. A perihélium-sebességet eliminálva:

Körpályánál r_a = r_p = r és (4)-et kapjuk, a fékezés utáni ellipszis esetében pedig r_p = R-et és r_a = r-et írva, újra megkapjuk az aphéliumi kinetikus energia (9) képletét. (24)-et négyzetre emelve belátható, hogy

s így (13) miatt K= f M. Ezért (23) a bolygópálya szokásos formulájával [3] egyenértékű. K értékét ismerve, a feladat megoldása újra megkapható: (24) szerint

s ezért

De f M / r (4) szerint 2, ahonnan újra (1)-et kapjuk.

A sebességvektort minden pillanatban a "sebességsík" egy O pontjából felmérve, a holográfot kapjuk. A bolygómozgás hodográfja kör. Ennek egyszerű bizonyítását kapjuk, ha az impulzusmomentumot vektoriálisan szorozzuk a Runge-Lenz-vektorral. A kettős vektorszorzatot kifejtve, = 0-t felhasználva

ahol u az -ből az L mint tengely körüli, óramutató járásával ellentétes irányú 90°-os forgatással kapott egységvektor. De L xK = -LKj, ahol j a koordináta-síkban az y tengely irányába mutató egységvektora. Ide K = f M-t írva, a sebességvektor kifejezhető:

Az egységvektor a mozgás során körbefordul, s ugyanezt teszi (90°-kal "előreforgatva") u. Így (28) első tagja egy f M / L sugarú kör, melynek centrumát a második tag eltolja az y tengely -K / L = f M / L "magasságú" (pontosabban mélységű) C pontjába. A sebességvektor végpontja - a hodográf - tehát egy f M l L sugarú, excentrikus kör, mint állítottuk. Amennyiben a pálya kör, akkor K = 0 és a hodográfkör centruma a sebességsík origója; ekkor nyilván .

A sebesség a kör - perihéliumnak megfelelő - alsó pontjában a legnagyobb és az aphéliumnak megfelelő felső pontban a legkisebb. Ekkor u függőlegesen felfelé mutat, u_a = j . A sebességvektor hossza = (sugár) - (a centrum origótól való távolsága), ahonnan (27) következik. (Ugyanezt kapjuk, ha (28)-ba L = v_a r_a-t írjuk).

1. csak a bolygómozgás specifikus, Kepler-féle törvényeit használja, s így már Newton előtt, a 17. század közepén megkapható lett volna. A második és hatodik megoldás (19. században fölfedezett) megmaradási tételeket alkalmaz, nevezetesen a (Kepler II, törvényével ekvivalens) impulzusmegmaradást, kiegészítve II.-ben az összenergia, illetve a VI.-ban a Runge-Lenz-vektor megmaradásával. Hogy az energia helyett a K is használható, annak oka, hogy a fenti mozgásállandók (26) szerint nem függetlenek.
2. tetszőleges konzervatív, centrális erő esetében alkalmazható. VI. a bolygómozgás "véletlen szimmetriáját" hívja segítségül (mely a bolygómozgás - kvantálás után a hidrogénatom - csoportelméleti tárgyalásához vezet) [5]: K L = 0, és (26) az O(4) "dinamikus szimmetria" Casimir-relációi.

3. A III. és IV. megoldás az összenergia (13) formuláján alapul, mely újra a bolygómozgás speciális tulajdonságaihoz kötődik. IV. Kepler III. törvényével keres kapcsolatot.

5. Az V. megoldás a mozgás általános, együtt mozgó koordináta-rendszerbeli, úgynevezett Frénet-féle formuláiból indul ki, és tetszőleges, csak pozíciófüggő erő esetén alkalmazható: elég, ha a pályát meghatározzuk, majd kiszámoljuk annak görbületi sugarát. Az Olvasó számára tanulságos gyakorlat lehet megvizsgálni például, mi történik az F = -kr harmonikus erő esetén (amikor is a trajektóriák újra ellipszisek).

7. Végezetül, a VII. megoldás a hodográfot használja, mely Feynman bolygómozgás-bizonyításában [6] is fontos szerepet játszik.

A feladat egy variációját az 1972-es Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny II. fordulójában tűzte ki Bodó Zalán. Példánk hasonló egy korábbi a KöMaL-feladathoz [7] is: Az 1966-os Ikeya-Seki-üstökös az 1967. évi csillagászati évkönyv szerint Nap-rádiusznyi, azaz 700000 km távolságban haladt el a Nap felszíne fölött, és keringési ideje 1000 év. Mennyi a sebessége napközelben és naptávolban?

A fenti módszerek bármelyikét alkalmazva, a perihéliumi, illetve aphéliumi sebességek képlete

Az üstökös fél nagytengelyhossza Kepler III. törvényéből a Föld adataival (T_f = 1 év és a_f = 150   10⁶ km) határozható meg: a = 100 a_f. Esetünkben a- e = 2R, s így e = a - 2 R, amiből v_p = 437 km/s, v_a = 20,4 km/s.

1. VERMES MIKLÓS: Az Eötvös-versenyek feladatai. I. 1959-1988. Nemzeti Tankönyvkiadó, Typotex Kft. 1997. 56-58. o.
2. Középiskolai Matematikai Lapok 1962/8-9. szám.
3. BUDÓ ÁGOSTON: Mechanika - Negyedik kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest (1965).
4. L. LANDAU, J. LIFSIC: Mechanika
5. GYÖRGYI GÉZA: A Kepler problémáról - Fiz. Szemle 15 (1965) 74; A Kepler-probléma "rejtett" szimmetriáiról - Fiz. Szemle 18 (1968) 142 (1968); Dinamikai szimmetriák - (tud. doktori értekezés) Magyar Fizikai Folyóirat 20 (1972) 45
6. D.L. GOODSTEIN, J.R. GOODSTEIN: Feynman's lost lecture. The motion of the planets around the Sun - Vintage 1997.
7. Középiskolai Matematikai Lapok 1967/10. szám, 670. Feladat

_____________________________