A FIZIKAI DIÁKOLIMPIA 3. FELADATÁNAK MEGOLDÁSA

közölte: Honyek Gyula

A közös centrumtól távolodó két objektum látszólagos szögsebességét könnyen meghatározhatjuk, ha látószögüket az idő függvényében ábrázoljuk és a kapott egyenesek meredekségét leolvassuk. Ha 1-es index jelöli a baloldali, 2-es index pedig a jobboldali forrást, akkor rad/s, illetve rad/s értékekre jutunk.

A rádióforrások transzverzális (keresztirányú) sebességét a szögsebesség és az R = 12,5 kpc = 3,86 x 10²⁰ m távolság szorzataként számíthatjuk ki:
= 3,68 · 10⁸ m/s = 1,23 c,

= 1,88 · 10⁸ m/s 0,63 c, ahol c a fénysebesség.

Egyszerű számításaink alapján arra a meglepő eredményre jutottunk, mintha a baloldali objektum fénynél sebesebben mozogna. A probléma feloldása érdekében képzeljünk el egy fényforrást, ami v sebességgel mozog egy tőle távoli O megfigyelő irányához képest szögben (ábra). A sebesség nagyságát jelölje A fényforrás távolságát a megfigyelő R-nek méri, szögsebességét -nak észleli. Tekintsük a forrás mozgását ideig, miközben az A pontból az A' pontba jut:

Jelölje az A-ból, illetve A'-ből induló jelek beérkezésének időbeli különbségét az O pontban. Mivel A és A' távolsága különböző, a fénysebesség pedig véges: . Kis idők esetén azaz Mindezek figyelembe vételével:

Így a forrás O-beli látszólagos keresztirányú sebessége

ahol felhasználtuk, hogy a megfigyelő vonatkoztatási rendszerében a valódi keresztirányú sebesség Az O-ban észlelhető szögsebesség:

Ha feltételezzük, hogy a két objektum egy egyenes mentén, azonos nagyságú sebességgel távolodik egymástól (a részletes olimpiai feladat ezt mondta ki), akkor a következő összefüggéseket írhatjuk fel a látszólagos szögsebességekre:

A megadott, illetve mért numerikus értékek segítségével a fenti két kifejezésből egyszerű algebrai átalakításokkal értéke kiszámítható: Megnyugodhatunk tehát, hiszen az észlelt rádióforrások mindössze a fénysebesség 89 %-ával mozognak.

Érdekességként megjegyezzük, hogy a látszólagos keresztirányú sebesség akkor lehet nagyobb a fénysebességnél, ha a következő feltétel teljesül:

ami a vizsgált esetben fenn is áll. Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ennek a kifejezésnek a fizikailag értelmes szögtartományban, adott esetén akkor van maximuma, ha Eszerint a látszólagos keresztirányú sebesség végtelenhez tarthat, ha egyhez tart, ami persze azt is jelenti, hogy nullához tart, vagyis a mozgó objektum a megfigyelő felé mozog közel fénysebességgel.